Einheitsdeterminante für relevante Symmetriegruppen in QFT

Bei der Behandlung von QFT möchten wir, dass unsere Theorie unter verschiedenen Symmetriegruppen invariant ist, zum Beispiel ist das Standardmodell eine nicht-abelsche Eichtheorie mit der Symmetriegruppe U ( 1 ) × S U ( 2 ) × S U ( 3 ) . Darüber hinaus ist es invariant unter Lorentz-Transformationen, die die Lorentz-Gruppe bilden Ö ( 1 , 3 ) mit der richtigen Transformationsuntergruppe S Ö ( 1 , 3 ) In diesem Beispiel S steht für Special, was bedeutet, dass diese Transformationen durch Matrizen mit Determinante dargestellt werden 1 .

Meine Fragen sind:

  1. Warum ist diese Anforderung so wichtig?
  2. Was würde insbesondere passieren, wenn wir zulassen, dass die Determinante eine beliebige reelle (oder komplexe) Zahl ist?
Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist bereits darauf beschränkt, entweder 1 oder -1 zu sein, also kann es nicht irgendeine Zahl sein!
ok, aber warum dann nicht -1?

Antworten (1)

Um den Begriff der Wahrscheinlichkeiten in der QFT zu bewahren, müssen Symmetrien als unitäre oder antiunitäre Operationen implementiert werden. Siehe auch den Satz von Wigner . Für endlichdimensionale Darstellungen muss die Determinante solcher Operationen nur ein Phasenfaktor sein.

Beispiel: U ( 1 ) Symmetrie.

Einheitsdeterminante für relevante Symmetriegruppen in QFT
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