Wie „definieren“ Symmetrien physikalische Gesetze?

Zunächst einmal habe ich keine Probleme damit, was Symmetrien sind oder wie man sie beschreibt. Allerdings habe ich keine Kenntnis darüber, wie die Begründung für die Quantenfeldtheorie und damit das Standardmodell funktioniert. Ich hoffe, es ist noch angemessen, so früh eine solche Frage zu stellen.

Was mich beschäftigt, ist eine Aussage, die ich jetzt schon mehrfach gehört habe und die in diese Richtung geht:

Der Elektromagnetismus baut auf a auf U ( 1 ) Symmetrie. Wenn wir andere Symmetrien betrachten, landen wir zum Beispiel bei anderen Kräften, wenn wir überlegen S U ( 2 ) × U ( 1 ) , erhalten wir die elektroschwache Wechselwirkung.

Unter der Annahme, dass diese Aussage wahr ist, stelle ich mir Folgendes vor:

  • Betrachten Sie einen mathematischen Rahmen nach dem Muster „Konfigurationsraum + Funktion des letzteren + Axiome“.
  • Postulieren Sie, dass diese Funktion a hat U ( 1 ) Symmetrie
  • Am Ende mit Maxwells Gleichungen (oder dem entsprechenden Lagrange oder etwas Äquivalentem)

Ich kann mir jedoch keinen Prozess in dieser Richtung vorstellen. Wie kann man eine Symmetrie postulieren und physikalische Gesetze finden? War es nicht schon immer umgekehrt? Das kommt mir wie pure Magie vor!

So geht das nicht. In diesem Fall denken Sie speziell an die Eichtheorie von Yang-Mills, die im Wesentlichen durch die Angabe einer Symmetriegruppe definiert ist, aber Sie bitten uns im Grunde genommen, hier eine vollständige Einführung in die Eichtheorie zu reproduzieren, was zu weit gefasst ist . Siehe aber zB physical.stackexchange.com/q/126978/50583 für eine Frage, deren Antworten vielleicht an die Übersicht heranreichen, die Sie hier suchen.
Der Elektromagnetismus wurde auf experimentellen Beweisen von Leuten wie Oersted und Ampere und Faraday und anderen sowie auf den mathematischen Fähigkeiten von Maxwell und Heaviside und anderen aufgebaut. Nicht bei U(1)-Symmetrie. Hüten Sie sich also vor pauschalen Aussagen. Manchmal sind sie Pferdescheiße.
Ich dachte, normalerweise sollten wir nur eine Entsprechung zwischen Symmetrien/Invarianten und Erhaltungsprinzipien haben (z. B. physikalische Gesetze ändern sich nicht (sind zeitinvariant) <=> Energieerhaltung; physikalische Gesetze sind überall gleich (translationsinvariant) < => Impulserhaltung; physikalische Gesetze sind anisotrop (rotationsinvariant) <=> Drehimpulserhaltung)
Der Ausdruck „aufgebaut“ bedeutet hier nicht entdeckt von. Es bedeutet existieren wegen. Es ist, als würde ich sagen, dass Felsen aus Atomen bestehen und jemand scherzt: "Das kann doch nicht stimmen, Menschen müssen Felsen vor Atomen entdeckt haben."

Antworten (1)

Eine Theorie wird typischerweise durch eine Lagrange -Funktion beschrieben , und deren Variation ergibt die Bewegungsgleichungen des Systems. Die Symmetrien, die Sie beschreiben, sind Symmetrien der Lagrange-Funktion, dh sie sind Transformationen, die die Lagrange-Funktion unverändert lassen.

Es wäre schön zu glauben, dass die Lagrangeianer, die unsere führenden Theorien der Physik beschreiben, auf eine logische und systematische Weise abgeleitet wurden, aber die Wahrheit ist, dass sie größtenteils Vermutungen sind (obwohl es fairerweise typischerweise inspirierte Vermutungen sind!). Wir erraten einen Lagrange-Operator, gehen jede Menge Mathematik durch und sehen, ob die daraus resultierende Theorie mit dem Experiment übereinstimmt.

Im Prinzip gibt es unendlich viele Lagrangianer, die wir als Vermutung auswählen könnten. In der Praxis schränkt der gesunde Menschenverstand die Auswahlmöglichkeiten ein, aber offensichtlich ist jede Möglichkeit, diese weiter einzuschränken, eine große Hilfe, und genau das tut eine Eichsymmetrie. Zum Beispiel, indem wir verlangen, dass unsere Vermutungen für die Lagrange-Funktion der Quantenelektrodynamik a haben U ( 1 ) Symmetrie werden wir zu einer Theorie geführt, die sowohl Elektronen als auch Photonen haben muss – ohne beides würde die Symmetrie verletzt werden. Es sagt uns auch, dass die Photonen masselos sein müssen, was eigentlich genauso gut ist. In der Tat einfach durch die Anforderung der U ( 1 ) Symmetrie fällt die richtige Lagrangedichte für die Quantenelektrodynamik so ziemlich in unsere Hände.

Die anderen Eichsymmetrien funktionieren ähnlich. Für QCD vermuten wir, dass die Eichsymmetrie ist S U ( 3 ) , und die Forderung, dass der QCD-Lagrange diese Symmetrie respektiert, weist sehr stark auf die richtige Wahl des Lagrange für die Theorie hin. Wie bei QED stellen wir fest, dass wir sowohl Quarks als auch Gluonen haben müssen, und es sagt uns sogar, wie viele Gluonen es geben muss, und sagt uns, dass die Gluonen masselos sein müssen, wie wir beobachten.

Darf ich vorschlagen, etwas mehr Zeit damit zu verbringen, was „variieren“ in diesem Zusammenhang bedeutet? (+1, offensichtlich. Außerdem haben Sie es wahrscheinlich bemerkt, aber das ist jetzt auf HNQ; daher der Vorschlag.)
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