Wie misst man raumähnliche Geodäten? Oder: Was ist die physikalische Interpretation weltraumhafter Geodäten?

Wenn Sie zwei Punkte haben$p,q$raumartig getrennt in einer Raumzeit$M$es gibt nicht so etwas wie die kürzeste raumartige Kurve, die sie verbindet! Jede raumähnliche Kurve, die sie verbindet, kann kontinuierlich näher und näher zu einer lichtähnlichen Kurve verformt werden, die dieselben Punkte verbindet. Also die$inf$der Menge der Längen der raumartigen Kurven, die die Punkte verbinden, ist immer Null und dieser Wert wird für eine lichtartige Kurve erreicht.

Um Ihre Frage zu beantworten, müssen wir einen Referenzrahmen festlegen . Also müssen wir zunächst eine Familie von raumartigen 3-Flächen fixieren$\{\Sigma_t\}_{t\in R}$dessen Vereinigung die Raumzeit ist$\cup_{t\in R} \Sigma_t =M$und paarweise disjunkt$\Sigma_t \cap \Sigma_{t'}=\emptyset$zum$t\neq t'$. Jeder$\Sigma_t$Ausgestattet mit der von der Raumzeit induzierten positiven Metrik ist ein dreidimensionaler Ruheraum .

Wenn Sie einen von ihnen in Betracht ziehen, sagen Sie$\Sigma_{0}$und beheben$p,q \in \Sigma_{0}$(sollte verbunden sein), die kürzeste (offensichtlich raumartige) Kurve , die dazugehört$\Sigma_{0}$und Beitritt zu ihnen besteht, wenn$p$und$q$im Hinblick auf ein bekanntes Ergebnis der Riemannschen Geometrie hinreichend nahe beieinander liegen.

Leider ist alles, was ich oben gesagt habe, in dem Sinne theoretisch, dass es in der Praxis nicht umgesetzt werden kann. Dies liegt daran, dass "tempus fugit". Ich meine, dass Sie die Zeitentwicklung berücksichtigen müssen, da ein Experiment kein augenblicklicher Vorgang ist. So$p$und$q$muss man sich da besser die Schnittpunkte mit denken$\Sigma_0$eines Weltlinienpaares$\gamma_p$,$\gamma_q$Beschreibung der Geschichten von materiellen Punkten. Im Hinblick auf die zeitliche Entwicklung, während Sie im Zeitintervall Experimente durchführen (Suchen nach der kürzesten Kurve, die die Punkte verbindet).$[t_1,t_2]$, haben Sie es eigentlich mit der ganzen Unterklasse der Ruheräume zu tun$\Sigma_t$mit$t\in [t_1,t_2]$.

Hier treten zwei Probleme auf.

(1) Zunächst einmal die Geometrie der$\Sigma_t$, die durch die Raumzeitmetrik induziert wird, kann für jeden Moment anders sein$t$.

(2) Es gibt keinen trivialen Weg, um Punkte zu identifizieren, die zu verschiedenen gehören$\Sigma_t$um einen Begriff des Ruhepunktes (zumindest während des Zeitintervalls) zu definieren$[t_1,t_2]$) mit dem betrachteten Bezugssystem.

Der einfachste Weg, beide Probleme zu beseitigen, ohne unphysikalische augenblickliche Messverfahren vorauszusetzen, ist die Annahme, dass die Raumzeit eine zeitähnliche Killing-Symmetrie zulässt und dass die$\Sigma_t$sind mit dieser Symmetrie kompatibel. Dies bedeutet, dass es eine Familie disjunkter zeitartiger Kurven gibt$\gamma_r = \gamma_r(u)$--$r$in irgendeiner Menge variieren – das Universum füllend, und dass, wenn man sich entlang einer von ihnen bewegt, die metrischen Eigenschaften der Raumzeit fest bleiben. Außerdem der Parameter$t$Beschriften der Oberflächen$\Sigma_t$stimmt mit dem Parameter überein$u$von jedem$\gamma_r$, so dass$\Sigma_u$ist nichts als die Evolution von$\Sigma_0$entlang der Kurven$\gamma_u$.$t$ist der Zeitparameter des Referenzrahmens. Die Menge der Indizes$r$Beschriftung der Killing-Kurven$\gamma_r$kann an den Punkten identifiziert werden$\Sigma_0$und Neudefinition des Ursprungs von$t$Auf jeder Kurve können wir Dinge so anordnen, dass jede Kurve$\gamma_r$schneidet$\Sigma_0$genau für$t=0$.

In diesem Bild, um zu Ihrem Problem zu kommen, gehen wir davon aus$\gamma_p$und$\gamma_q$sind zwei Kurven in der genannten Familie, und wir können sagen, dass der materielle Punkt dessen$\gamma_p$und$\gamma_q$stellen die Geschichten dar, die mit dem Bezugsrahmen in Ruhe sind$(\{\gamma_r\}_{r\in \Sigma_0},\{\Sigma_t\}_{t\in R} )$. Da die Kurven$\gamma_r$Isometrien darstellen,$\Sigma_{t_1}$und$\Sigma_{t_2}$haben die gleiche Geometrie, die nicht von der Zeit abhängt$t$. Mit anderen Worten zerfällt die Raumzeit in das Produkt$R \times \Sigma$, wo$\Sigma$ist jemand der$\Sigma_t$ausgestattet mit der induzierten ( positiven Riemannschen) Metrik aus der Raumzeit, die konstruktionsbedingt zeitunabhängig ist$t$. Insbesondere die Entfernungen von$\gamma_p(t)$und$\gamma_q(t)$, jeweils gemessen$\Sigma_t$nicht abhängen$t$.

Bezieht sich auf den Ruheraum$\Sigma$Ausgestattet mit einer statischen Geometrie können wir Ihre Frage sicher beantworten. Die kürzeste Kurve, die die beiden Punkte verbindet (jetzt im Bezugsrahmen ruhend!) gibt die Geodäte der natürlichen Geometrie an$\Sigma$. In der Praxis kann es als die Kette konstruiert werden, die die Punkte mit der kleinsten Anzahl von Gliedern verbindet. Oder man könnte die Paralleltransport-Sichtweise einnehmen: man muss eine ununterbrochene Folge von identischen starren Linealen konstruieren, die parallel transportiert werden (das (n+1)-te Lineal wird bewegt, während es in Kontakt mit dem n-ten bleibt).$p$und$q$. Die Länge der Geodäte ist im ersten Fall die Anzahl der Glieder oder im zweiten Fall die Anzahl der Lineale.

Ich teile nicht die Ansicht, dass weltraumähnliche Geodäten keine physikalischen Einheiten sind oder bestenfalls nur in Tachyon-Begriffen verstanden werden können. Mathematisch raumähnliche geodätische Pfade sind in der 3+1-Raumzeit gut verstanden. Sie können im Prinzip bei gegebener Metrik berechnet werden. Bei 2 Ereignissen in einem lokalen (aber nicht infinitesimalen) Teil einer Mannigfaltigkeit können sie durch eine eindeutige geodätische Kurve verbunden werden. Wenn dies zeitähnlich ist, haben wir eine Interpretation eines Testteilchens im freien Fall, und seine Länge ist die Zeit, die auf dem Körper verstrichen ist. Wenn ich raumartig bin, stimme ich zu, dass für Nullbeobachter die Entfernung entlang dieser Geodäten verschwindet und die Länge im Allgemeinen beobachterabhängig ist. Es gibt jedoch ein MaximumAbstand entlang der raumartigen Geodäte, sobald die Kurve definiert ist. Ich weiß das intuitiv, weil die von uns beobachtete Entfernung von der Erde zum Mond, 384.400 km, von keinem Beobachter länger gemessen werden kann. Eine Komplikation tritt auf, wenn die Raumzeit nicht statisch ist. Dann haben wir nur zwei Teilchen auf zwei Bahnen, die jeweils einen Blitz aussenden, um 2 Ereignisse zu definieren. Wenn wir alles über die Raumzeit in dieser Nachbarschaft wissen, können wir die Geodäte erneut berechnen und dann ihre eindeutige maximale Länge finden. Im Prinzip ist es also möglich, die Geodäte und die Länge zu finden, wenn wir davon ausgehen, dass es möglich ist, die Metrik der Nachbarschaft und die Koordinaten der beiden Ereignisse zu kennen. In unserem Sonnensystem kennen wir die Metrik und wir können Ereignissen Koordinaten geben und so können wir Geodäten zwischen Ereignissen und damit ihre (maximale) Länge berechnen.